Typical Spectra and non-commutative Choquet theory

Abstract

The thesis addresses two main topics, spectra of typical Hilbert space operators and non-commutative Choquet theory. The former is discussed in Chapter 2, where we show that a typical operator has non-empty point spectrum as well as non-empty continuous spectrum are typical properties. We conclude the chapter with the new result that the set of operators with empty continuous spectrum is dense. In Chapter 3, we study the lattice of C∗-covers of operator algebras. Among other things, we show that an operator algebra with more than one C∗-cover already has continuum many C∗-covers. Chapter 4 is devoted to Arveson’s Hyperrigidity Conjecture. We first show that all operator systems of the form A(K), where K ⊂ R2 is compact and convex, are hyperrigid in C(ex(K)). After that, we look at the known counterexample by Bilich and Dor-On and present a new counterexample, new in the sense that the operator system is generated by only finitely many selfadjoint operators. We conclude the thesis in Chapter 5 with so far unpublished results. This includes, among others, the result that the maximal unital completely positive maps form a dense Gδ-set.

Die Doktorarbeit befasst sich mit zwei zentralen Themen, typischen Spektren von Operatoren auf Hilberträumen und nicht-kommutative Choquet Theorie. Ersteres wird in Chapter 2 behandelt. Dort zeigen wir zuerst, dass nicht-leeres Punktspektrum sowie nicht-leeres stetiges Spektrum typische Eigenschaften sind. Das Kapitel beenden wir mit dem neuen Resultat, dass die Menge der Operatoren mit leerem stetigem Spektrum dicht liegt. In Chapter 3 befassen wir uns mit dem Verband von C∗-Überdeckungen von Operatoralgebren. Wir zeigen unter anderem, dass eine Operatoralgebra mit mehr als einer C∗-Überdeckung bereits Kontinuum viele C∗-Überdeckungen hat. Chapter 4 widmet sich Arveson’s Hyperrigidity Vermutung. Zuerst zeigen wir, dass alle Operatorsysteme der Form A(K), wobei K ⊂ R2 eine kompakte konvexe Menge ist, hyperrigid in C(ex(K)) sind. Danach befassen wir uns mit dem bekannten Gegenbeispiel von Bilich und Dor-On und geben ein neues Gegenbeispiel, neu im Sinne, dass das Operatorsystem nur von endlich vielen selbstadjungierten Elementen erzeugt ist. Wir schließen die Thesis mit noch nicht veröffentlichten Resultaten in Chapter 5. Dies enthält unter anderem das Resultat, dass die maximalen unitalen vollständig positiven Abbildungen eine dichte Gδ-Menge sind.