Classifying birational automorphisms of irreducible holomorphic symplectic manifolds

Abstract

The subject of the thesis is the study of birational automorphisms of finite order on irreducible holomorphic symplectic (IHS) manifolds, from a lattice-theoretic point of view. IHS manifolds are one of the building blocks of compact Kähler manifolds with trivial first Chern class, and the question of studying their symmetries arises naturally. Thanks to the Torelli-type theorems for IHS manifolds, these symmetries can be analyzed through certain isometries of even indefinite Z-lattices. The main focus of the work is on describing computational methods for classifying finite groups of such isometries. In particular, most of the approaches presented in the thesis have an algorithmic counterpart. The work starts with some definitions and notations about lattices and IHS manifolds. Special attention is given to exploring the implementation of some of the introduced notions, setting up a computational framework for the rest of the thesis. The second part of the work is structured around five classification problems, which serve as a guiding line for the classification of finite groups of birational automorphisms of IHS manifolds. Two of these problems concern the classification of certain finite cyclic groups of isometries of even indefinite Z-lattices. A theoretical approach to solve each of them is given in specific cases. For solving each of the remaining three classification problems, a general procedure is presented, along with discussions about its effectiveness and limitations. Each of the methods described in this part of the thesis is applied to concrete examples. These five classification problems allow for a global classification procedure. This procedure is practical for the deformation types K3[p +1] , OG6 and OG10. An extra effort is required for the other known deformation types of IHS manifolds and singular analogs. The final part of the work is focused on geometric applications for the lattice techniques described so far. An account is also given of the theory of projective representations of finite groups, which has useful applications in determining equations that describe projective IHS manifolds. It is applied to find an explicit geometric description of some projective K3 surfaces. The rest of this part is about studying symmetries of special projective IHS manifolds, known as double EPW-cubes and LSV manifolds.

Das Thema der Dissertation ist die Untersuchung birationaler Automorphismen endlicher Ordnung auf irreduziblen holomorphen symplektischen (IHS-)Mannigfaltigkeiten mittels Z-Gitter. IHS-Mannigfaltigkeiten gehören zu den Grundbausteinen kompakter Kähler-Mannigfaltigkeiten mit trivialer erster Chern-Klasse, und die Frage nach ihren Symmetrien ergibt sich auf natürliche Weise. Dank der Torelli-artigen Sätze für IHS-Mannigfaltigkeiten können diese Symmetrien durch bestimmte Isometrien gerader, indefiniter Z-Gitter untersucht werden. Der Schwerpunkt der Arbeit liegt auf der Beschreibung rechnergestützter Methoden zur Klassifikation endlicher Gruppen solcher Isometrien. Insbesondere haben die meisten der beschriebenen Ansätze eine algorithmische Entsprechung. Die Arbeit beginnt mit einigen Definitionen zu Gittern und IHS-Mannigfaltigkeiten. Ein besonderes Augenmerk liegt auf der Implementierung einiger der eingeführten Begriffe, um einen rechnerischen Rahmen für den weiteren Verlauf der Arbeit zu schaffen. Der zweite Teil der Arbeit behandelt fünf Klassifikationsprobleme, die einen Leitfaden für die Klassifikation endlicher Gruppen birationaler Automorphismen von IHS-Mannigfaltigkeiten liefern. Zwei dieser Probleme betreffen die Klassifikation bestimmter zyklischer Isometriegruppen von geraden, indefiniten Z-Gittern. Ein theoretischer Ansatz zur Lösung jedes dieser Probleme wird in spezifischen Fällen gegeben. Für die übrigen drei Klassifikationsprobleme wird ein allgemeines Verfahren präsentiert, zusammen mit einer Diskussion über dessen Effektivität und Einschränkungen. Jede der in diesem Abschnitt beschriebenen Methoden wird auf konkrete Beispiele angewendet. Diese fünf Klassifikationsprobleme ermöglichen ein globales Klassifikationsverfahren. Dieses Verfahren ist effektiv für die Deformationstypen K3[pk+1], OG6 und OG10. Für die anderen bekannten Deformationstypen von IHS-Mannigfaltigkeiten und singulären Analogien ist zusätzlicher Aufwand erforderlich. Der letzte Teil der Arbeit ist auf geometrische Anwendungen der bisher beschriebenen Gittertechniken fokussiert. Es wird auch ein Überblick über die Theorie der projektiven Darstellungen endlicher Gruppen gegeben, die nützliche Anwendungen zur Bestimmung der definierenden Gleichungen von projektiven IHS-Mannigfaltigkeiten haben. Sie wird angewendet, um eine explizite geometrische Beschreibung einiger projektiver K3-Flächen zu finden. Der Rest dieses Teils befasst sich mit der Untersuchung von Symmetrien spezieller projektiver IHS-Mannigfaltigkeiten, die als „double EPW-cubes” und „LSV manifolds” bekannt sind.